前言

通过更新这篇博客,巩固我的数学基础,同时提高我对LaTeX语法的熟练程度~

1 基础

1.1 充分必要条件

充分必要条件(英语:sufficient and necessary condition)简称为充要条件。

在逻辑学中:

  • 当命题“若P则Q”为真时,P称为Q的充分条件,Q称为P的必要条件

因此:

  • 当命题“若P则Q”与“若Q则P”皆为真时,P是Q的充分必要条件,同时,Q也是P的充分必要条件
  • 当命题“若P则Q”为真,而“若Q则P”为假时,我们称P是Q的充分不必要条件,Q是P的必要不充分条件,反之亦然。

充分的含义是,一个命题A的成立足够保证另一个命题B的成立——如果我们知道A成立,那么我们可以“充分”认为B成立。必要的含义是,要使得某个命题B成立,我们必须要有A成立(因为A是B的推论,A的不成立将会否定B,所以把A称为B的必要条件)。

参考:1, 2

2 极限

等价无穷小 泰勒展开
$sinx\sim x$ $sinx=x-\frac{1}{3!}x^3$
$1-cosx\sim \frac{1}{2}x^2$ $cosx=1-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{4!}x^4$
$e^x-1\sim x$ $e^x=1+x+\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{3!}x^3$
$tanx\sim x$ $tanx=x+\frac{1}{3}x^3$
$\mathrm{arctan}x\sim x$ $\mathrm{arctan}x=x-\frac{1}{3}x^3$
$ln(1+x)\sim x$ $ln(1+x)=x-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{4}x^4+…$
$(1+x)^\alpha-1\sim \alpha x$ $(1+x)^\alpha=1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2+…$
  • 口诀:指对连,三角断,三角对数隔一换。对数函数一二三,三角指数有感叹。知乎:weiyinfu

$1. 当x\to0时,f(x)=x-sin(ax)与g(x)=x^2ln(1-bx)等价无穷小,求a,b.$ 解:

\[\begin{aligned} sin(ax)&=ax-\frac{1}{6}(ax)^3\\ f(x)&=x-sin(ax)=(1-a)x+\frac{1}{6}(ax)^3\\ ln(1-bx)&=-bx\\ g(x)&=x^2ln(1-bx)=-bx^3\\ \lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(x)}{g(x)}&=1,故a=1,b=-\frac{1}{6} \end{aligned}\]

$2. 求lim_{x\to0}\frac{[sinx-sin(sinx)]sinx}{x^4}.$

  • $tip1:由泰勒展开:sinx=x-\frac{1}{3!}x^3+\frac{1}{5!}x^5-\frac{1}{7!}x^7+…$
  • $tip2:lim_{x\to0}(x-sinx)=\frac{1}{6}x^3(由tip1得)$
  • $tip3:整体代换:由tip2得,lim_{f\to0}(f-sinf)=\frac{1}{6}f^3(f为任意函数)$

解:

\[\begin{aligned} 原式&=lim_{x\to0}\frac{sinx-sin(sinx)}{sin^3x} \\ &=lim_{f\to0}\frac{f-sinf}{f^3}\\ &=lim_{f\to0}\frac{\frac{1}{6}f^3}{f^3}\\ &=\frac{1}{6} \end{aligned}\]

$3.当x\to0时,f(x)=3sinx-sin(3x)与cx^k等价无穷小,求c,k.$

解:

\[\begin{aligned} 3sinx&=3(x-\frac{1}{6}x^3)=3x-\frac{1}{2}x^3\\ sin(3x)&=3x-\frac{1}{6}(3x)^3=3x-\frac{9}{2}x^3\\ 上式-下式&=4x^3,故c=4,k=3 \end{aligned}\]

佐天,有两个年轻人问我,韩老师发生肾么事了?我说怎么回事,塔门说,韩老师你不讲武德,为什么泰勒公式就展了两项就不展了?我说你不懂,你再展一下试试,我一说完他啪的一声就展开来了,很快啊!然后就是,一个$3\times\frac{1}{5!}x^5$,一个$\frac{1}{5!}(3x)^5$,我全防出去了,全防出去了啊。我说你这没用,你200多斤的$x^5$也折不动我$x^3$的一根手指头(高阶无穷小)。传统泰勒,自然是展到为止,谢谢朋友们!