前言

  • 为什么写这个博客?
    1. 大四上学期空余时间颇多,又因自身高数知识较薄弱,所以蹭了学院开的高数强化(学分课)。授课内容包括考研数学(高数,现代,概率论)重点题型及做题技巧。虽然课程以做题技巧为导向,但依旧可以收获颇多重要数学知识,例如多元函数的极限、连续、可微,以及使用泰勒展开求极限等。
    2. 最近换了个更易于使用的博客平台,改变之前“各种折腾美化,却忽视更新博客内容”的策略。决定将更多的心思用在博客内容的创作上。其中,对于磕盐人员来说,数学公式的使用(Latex)的重要性不必多言,我也使自己的博客支持了数学公式(MathJax)。关于数学的博客必然少不了数学公式的输入(Lolimay),所以通过更新这篇博客,既可以提高我的数学基础,也可以提高我对LaTeX语法的熟练程度~
  • 这个博客是什么样的形式? 大概只有两种形式,题目&解答部分重要定理总结

1 极限一(计算)

等价无穷小 泰勒展开
$sinx\sim x$ $sinx=x-\frac{1}{3!}x^3$
$1-cosx\sim \frac{1}{2}x^2$ $cosx=1-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{4!}x^4$
$e^x-1\sim x$ $e^x=1+x+\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{3!}x^3$
$tanx\sim x$ $tanx=x+\frac{1}{3}x^3$
$\mathrm{arctan}x\sim x$ $\mathrm{arctan}x=x-\frac{1}{3}x^3$
$ln(1+x)\sim x$ $ln(1+x)=x-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{4}x^4+…$
$(1+x)^\alpha-1\sim \alpha x$ $(1+x)^\alpha=1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2+…$
  • 口诀:指对连,三角断,三角对数隔一换。对数函数一二三,三角指数有感叹。知乎:weiyinfu

$1. 当x\to0时,f(x)=x-sin(ax)与g(x)=x^2ln(1-bx)等价无穷小,求a,b.$ 解:

\[\begin{aligned} sin(ax)&=ax-\frac{1}{6}(ax)^3\\ f(x)&=x-sin(ax)=(1-a)x+\frac{1}{6}(ax)^3\\ ln(1-bx)&=-bx\\ g(x)&=x^2ln(1-bx)=-bx^3\\ \lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(x)}{g(x)}&=1,故a=1,b=-\frac{1}{6} \end{aligned}\]

$2. 求lim_{x\to0}\frac{[sinx-sin(sinx)]sinx}{x^4}.$

  • $tip1:由泰勒展开:sinx=x-\frac{1}{3!}x^3+\frac{1}{5!}x^5-\frac{1}{7!}x^7+…$
  • $tip2:lim_{x\to0}(x-sinx)=\frac{1}{6}x^3(由tip1得)$
  • $tip3:整体代换:由tip2得,lim_{f\to0}(f-sinf)=\frac{1}{6}f^3(f为任意函数)$

解:

\[\begin{aligned} 原式&=lim_{x\to0}\frac{sinx-sin(sinx)}{sin^3x} \\ &=lim_{f\to0}\frac{f-sinf}{f^3}\\ &=lim_{f\to0}\frac{\frac{1}{6}f^3}{f^3}\\ &=\frac{1}{6} \end{aligned}\]

$3.当x\to0时,f(x)=3sinx-sin(3x)与cx^k等价无穷小,求c,k.$

解:

\[\begin{aligned} 3sinx&=3(x-\frac{1}{6}x^3)=3x-\frac{1}{2}x^3\\ sin(3x)&=3x-\frac{1}{6}(3x)^3=3x-\frac{9}{2}x^3\\ 上式-下式&=4x^3,故c=4,k=3 \end{aligned}\]

佐天,有两个年轻人问我,韩老师发生肾么事了?我说怎么回事,塔门说,韩老师你不讲武德,为什么泰勒公式就展了两项就不展了?我说你不懂,你再展一下试试,我一说完他啪的一声就展开来了,很快啊!然后就是,一个$3\times\frac{1}{5!}x^5$,一个$\frac{1}{5!}(3x)^5$,我全防出去了,全防出去了啊。我说你这没用,你200多斤的$x^5$也折不动我$x^3$的一根手指头(高阶无穷小)。传统泰勒,自然是点到为止,谢谢朋友们!

$4.求\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{1+2sinx}-x-1}{xln(1+x)}.$

$解:$

$5.求\lim_{x\to0}\frac{e^{x^2}-e^{2-2cosx}}{x^4}.$

$解:$

$6.当x\to0时,若x-tanx与x^k是同阶无穷小,则k=?.$

$解:$

2 极限二(证明)

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